Exemple 5.1 : Temps de réponse d'un thermocouple

Un thermocouple placé dans un flux de gaz chaud est assimilé à une sphère.

• Données :

• Coefficient de convection entre thermocouple et gaz : 400 W/K•m²
• Température gaz : 200 °C
• Température initiale du thermocouple : 25°C
• Thermocouple : conductivité thermique, chaleur spécifique et masse volumique

• Quel diamètre doit avoir le thermocouple pour avoir un temps de réponse inférieur à 5 secondes pour atteindre 199°C ?

• Notes :

• On utilise LabelMover pour faire varier le diamétre du thermocouple. La température sera déclarée en Kelvin.
• LabelMover , dans les versions récentes de QuickField™ ne prend pas en compte la température initiale globale, un problème complémentaire donnant la température initiale à t = 0 est donc nécessaire.

• Réponses :

• Réponse exemple :
  Diamètre = 0.7 mm.
• Réponse simulation :
  Diamètre = 0.62 mm.

Température (K) @ 5 s vs. diamètre (mm)

• Téléchargement : Fichiers Student (≅ 200 noeuds)   (100 Ko)

Exemple 5.2 : Temps de réponse d'un thermocouple

Le thermocouple de l'exemple 5.1 est placé dans un flux de gaz chaud dans une enceinte à 400°C.

• Données :

• Coefficient de convection entre thermocouple et gaz : 400 W/K•m²
• Température gaz : 200 °C
• Température initiale du thermocouple : 25°C
• Thermocouple : conductivité thermique, chaleur spécifique émissivité et masse volumique

• Quel est la température du thermocouple au bout de 5 secondes pour des coefficients de convection thermique de 200, 400 et 800 W/K•m² ?

• Notes : Le temps de calcul se fait par pas de 0.25 s.

• Réponse :

• Téléchargement : Fichiers Student (≅ 200 noeuds)   (40 Ko)

Exemple 5.3 : Revêtement epoxy (traitement thermique)

Une plaque d'aluminium est revêtue d'une couche époxy. Pour la fixation de cette couche, celle-ci doit être maintenue à 150°C durant au moins 5 minutes. Puis la plaque est disposée dans l'air ambiant.

• Données :

• première étape : entrée enceinte
  • h = 40 W/K•m²
  • T_enceinte= 175°C
• seconde étape : sortie enceinte
  • h = 10 W/K•m²
  • T_{environnement}= 25°C
• Aluminium : k = 177 W/K•m, ρ = 2770 kg/m³,
    C = 875 J/kg•K.
• Epoxy : émissivité = 0.8, épaisseur 3 mm.

• Quel est le temps total du procédé pour que la température finale soit de 37°C et rendre la plaque manipulable ?

• Notes : Pour être suffisament précis, le temps de calcul se fait par pas de 5 s. On réalise une première simulation pour afficher une table "time table" T = f(t) d'un point de la plaque. Les temps entre lesquels la température est 150°C sont notés, ici 130 et 430 ( 130 + 5 mn ) secondes. Ce dernier temps défini le temps de sortie de la plaque.

• Réponses :

• Réponse exemple : 989 secondes
  
• Réponse simulation : 1000 secondes
  

Caractéristique thermique du process

• Téléchargement : Fichiers Student (≅ 200 noeuds)   (400 Ko)

Exemple 5.4 : Gouttelettes pathogènes (inhibition thermique)

La température léthale de particules assimilées à des gouttelettes pathogènes est 220°C. Celles-ci passent rapidement dans un compresseur pour être inhibées.

• Données :

• gouttelette :
  • Ø = 10 µm
  • k = 0.2 W/K•m
  • ρ = 900 kg/m³
  • C = 1100 J/kg•K
• Echanges thermiques
  • h = 4600 W/K•m²
  • T_{environnement} (°C) = 125 - 100•cos(2πt/t_p)
  • t_p = 0.004 s
  • h = 4600 W/K•m²
  • Le rayonnement thermique est négligé

• Le cycle est-il compatible avec la destruction de ces particules ?

• Réponses :

• Réponse exemple : non, car la température max atteinte est 212°C
  
• Réponse simulation : non, car la température max atteinte est 209°C
  

• Notes : Le livre cité ci-dessus propose deux solutions : numérique ou litérale. Dans QuickField™ il suffit d'écrire directement les équations comme "formules" comme par exemple les conditions limites sur la surface des gouttelettes. (voir ci-dessous)

Conditions limites à la surface du modèle de particule

Caractéristique thermique du procédé

• Téléchargement : Fichiers Student (≅ 200 noeuds)   (300 Ko)

Exemple 5.5 : Pipeline (pertes thermiques)

Un pipeline dans les conditions initiales du froid admet un fluide dont la température est connue. Un modèle est défini pour estimer les pertes dues à l'échauffement du tube.

• Données :

• pipeline :
  
  
  • Ø = 1 m
  • épaisseur = 40 mm
  • k = 63.9 W/K•m
  • ρ = 7832 kg/m³
  • C = 434 J/kg•K


• Echanges thermiques :
  
  
  • T_{environnement} (°C) = -20°C
  • T_fluide (°C) = 60°C
  • h = 500 W/K•m²
  • Le pipeline est isolé thermiquement

• Notes : La solution litérale modélise le pipeline comme un plan séparant fluide et environnement de même épaisseur. D'autre part le modèle donné ici par les éléments finis tient compte de la variation de la conductivité et capacité thermiques en fonction de la température, voir ci-contre. La différence dans les valeurs trouvées est donc représentative des méthodes utilisées, donc de la précision souhaitée. Le postprocesseur de QuickField™ ne permet pas de calculer l'énergie cédée au pipeline. Ceci sera fait ultérieurement avec l'aide de TkFab.

• Téléchargement : Fichiers Student (≅ 125 noeuds)   (30 Ko)

• Après 8 mn : quels sont la température externe, le flux thermique et l'énergie transférée au pipeline ?

• Réponses :

• Exemple : 42.9°C, -7400 W/m² et -2.73•10⁷ J/m
  
• Simulation : 40.7°C, -5850 W/m² et "calcul à faire ultérieurement avec TkFab"
  

kacier = f(T)	Cacier = g(T)

Flux thermique en fonction du temps (1/4 surface)

Exemple 5.6 : Traitement thermique

Une sphère en oxyde de métal est sortie d'un four à 400°C, puis laissée à l'air ambiant (25 °C). Une fois une température de 335°C atteinte, elle est brutalement trempée dans de l'eau à 20°C.

• Données :

• sphère :
  
  
  • rayon = 5 mm
  • k = 20 W/K•m
  • ρ = 3000 kg/m³
  • C = 1000 J/kg•K


• Echanges thermiques :
  
  
  • h_air (°C) = 10 W/K•m²
  • h_eau (°C) = 6000 W/K•m²

• Quel est la durée pour atteindre 335°C ? Quel temps faut-il pour que le centre de la sphère atteigne 50°C une fois plongée dans l'eau ? transférée au pipeline ?

La sphère est modélisée comme ci-dessous :

Modèle axisymétrique de la sphère.

• Notes : L'exemple utilise une approche théorique oû la température dans la sphère est supposée uniforme, la simulation est ici plus précise.

• Téléchargement : Fichiers Pro (≅ 350 noeuds)   (400 Ko) - une version "student" est possible avec une symétrie avec l'axe des "y", soit un quart de sphère

Pour trouver la solution, on procède en trois étapes :

• Refroidissement à 20 °C (air) pendant 150 s
• Refroidissement à 20 °C (eau) pendant encore 50 s
• Mesure du temps tel que T_sphere = 335°C

Initialement, la définition du coefficient de convection de la surface de la sphère est :

α = 10×impulse(t,0,150) + 6000×impulse(t,150,200)

Tracé avec TkFab® de la température en (0,0)

Valeur de t tel que T° = 335°C

Le coefficient de convection de la surface de la sphère étant :

10×impulse(t,0,97.25) + 6000×impulse(t,97.25,200)

on obtient :

Valeurs de t tel que T° = 335°C, puis T° = 50°C

• Réponses :

• Exemple : t_335°C = 94 s, t_50°C = 97.1 s ( durée à 50°C : 3.1 s)
  
• Simulation : t_335°C = 97.8 s, t_50°C = 100.6 s ( durée à 50°C : 2.8 s)
  

Exemple 5.7 : Contact rapide entre deux surfaces

Un(e) marcheur(se) pose un pied nu sur une dalle au soleil, on compare un matériau 1 avec un matériau 2 afin de vérifier que la température après une seconde de contact soit plus faible avec le matériau 2. Les matériaux sont considérés comme homogènes (béton avec différents agrégats)

• Données :

• Dalle au soleil :
  
  
  • k = 1.4 W/K•m (mat. 1), 0.28 W/K•m (mat. 2)
  • ρ = 2300 kg/m³ (mat. 1), 1495 kg/m³ (mat. 2)
  • C = 880 J/kg•K (mat. 1), 880 J/kg•K (mat. 2)


• Pied (épiderme) :
  
  
  • k = 0.3 W/K•m
  • ρ = 993 kg/m³
  • C = 4178 J/kg•K
  • Epaisseur d'observation = 3 mm

• Au bout d'une seconde, quelle est la température à la surface de l'épiderme ?

Le contact pied/dalle est modélisé comme ci-dessous :

Modèle de contact avec T_epiderme ≠ T_dalle.

• Notes : Le modèle est initialisé avec deux volumes à des températutes différentes. Un problème *_init.pbm est utilisé où la géométrie des deux volumes doit être séparée. Le modèle a la particulatité d'utiliser la condition initiale "Even periodic T₁ = T₂".
  Les blocks "dalle type 1" et "dalle type 2" sont choisis selon le matériau à utiliser.

La température est relevée au plus près de la surface de l'épiderme :

Time plot : mesure en x = 0.0, y = 3.001.

• Réponses :

Les valeurs ci-dessus sont obtenues en exportant le tableau de valeurs "Time plot" en en x = 0.0, y = 3.001 et en relevant la valeur de la température en t = 1s.

Tracé de la température pour les deux matériaux

• Téléchargement :

• Fichiers Student (≅ 240 noeuds)   (20 Ko)
• Fichiers Pro (≅ 7000 noeuds)   (2.7 Mo)

Exemple 5.9 : Laser contre tumeur

Un traitement contre le cancer utilise des nanoparticules qui absorbent un rayonnement laser à des longueurs d'onde bien définies. Avant traitement, des anticorps sont liés à ces nanoparticules; ceux-ci permettent aux nanoparticules d'adhérer aux tumeurs à détruire.
Le rayonnement laser traverse les différents tissus, il est absorbé par les nanoparticules qui s'échauffent et détruisent les tumeurs par simple effet thermique.

• Données :

• Tumeur :
  
  
  • forme sphérique Φ = 3 mm , k = 0.5 W/K•m
  • ρ = 989.1 kg/m³ C = 4180 J/kg•K
  • absorption de tout le rayonnement laser


• Tissu :
  
  
  • k = 0.5 W/K•m
  • ρ = 989.1 kg/m³ C = 4180 J/kg•K
  • C = 4178 J/kg•K
  • Autres échanges thermiques négligés

La température initiale est de 37°C.

• Questions :

• (Q1) Quel est le flux thermique nécessaire pour que la température de la tumeur atteigne 55°C ?
• (Q2) Quel est le temps nécessaire pour que la température y atteigne 55 - 3 = 52°C (3 °C d'erreur), la tumeur étant supposé isolée ?
• (Q3) Quel est le temps nécessaire pour que la température y atteigne 55 - 3 = 52°C (3 °C d'erreur), en prenant en compte le tissu environnant ?

La tumeur dans le tissu est modélisée comme ci-dessous :

Modèle simplifié de tumeur.

• Notes Q1 : Le segment ( edge ) "tumeur" est la partie la plus importante du modèle. Pour la première question, on y imposera la température de 55°C pour relever le flux thermique (problème ex_5p9_laser_against_tumor_q1.pbm) et pour les autres questions on y imposera un flux thermique sur seulement 90° pour modéliser l'impact laser (problème ex_5p9_laser_against_tumor_q3.pbm).
  La géométrie est axisymétrique.

• Notes Q2 + Q3 : La puissance calculée pour la question Q1 est reportée dans son label pour la partie transitoire sous la formule :
  25300*cos(phi)*step(90-phi)
  avec 25300 W/m² = 4•0.179/(π•D²_tumeur), la section "vue" de la tumeur étant π•(D²_tumeur/4), step(90-phi) exprimant que seule la moitié de la surface est irradiée par le laser.
  Le même problème est utilisé pour les deux questions, en Q2, le block "tissu" n'est pas défini "(none)", à contrario de la question Q3.

• Réponse question 1 :

Les valeurs ci-dessus sont obtenues en définissant un contour sur le segment "tumeur".

Q1 : relevé de la puissance thermique nécessaire

• Réponse question 2 et 3 :

• La différence des durées pour obtenir 52°C vient du modèle théorique qui en assimilant la tumeur à un point ne tient pas compte de la répartition de température dans la tumeur. Les résultats de la simulation sont calculés avec la valeur moyenne volumique de la température, or lorsqu'on atteint une moyenne de 52 °C, une partie de la tumeur est déjà à 67°C alors qu'une autre partie important n'a pas atteint 46°C (voir image ci-dessous).

Températures dans la tumeur @ t ≅ 200 s

• Téléchargement : Fichiers Pro (≅ 5000 noeuds)   (4 Mo)

Exemple 5.10 : Nanomatériau - méthode 3ω

La méthode 3ω (3ω method) permet d'évaluer la résistivité thermique de matériau par mesure de températures par l'utilisation d'une source thermique sinusoidal. Par exemple une source de courant générant une puissance thermique par effet Joule. La mesure est faite à deux fréquences et la relation

ΔT = (Δq_s/L•π•k)×(-0.5•ln(ω/2) + C₂)

est résolue avec ces deux applications numériques où k et C₂ sont les inconnues. Dans cet exemple, le modèle vérifiera les résultata théoriques sur une fine structure en nanomatériau sur laquelle se trouve une piste conductrice.

• Données :

• Substrat :
  
  
  • épaisseur = 300 µm, longueur = 3.5 mm, largeur : non donné
  • ρ = 3100 kg/m³ C = 820 J/kg•K
  • absorption de tout le rayonnement laser


• Piste :
  
  
  • épaisseur = 3000 Å, largeur = 100 µ
  • ρ : non donné, C : non donné, k : non donné
  • C = 4178 J/kg•K
  • Autres échanges thermiques négligés


• Source électrique :
  
  
  • puissance thermique = Δqs•(1 + sin(ωt)), Δqs = 3.5 mW
  • Fréquences : 2π rd/s (1 Hz) et 200π rd/s (200 Hz)


• Environnement :
  
  
  • Echanges thermiques négligés
  • Température ambiante non donnée

La température initiale est de 37°C.

• Notes :

• La théorie est basée sur l'hypothèse d'un substrat semi-infini, ce qui n'est pas modélisable, on prendra une largeur suffisante de substrat d'environ 2 mm. Pour le conducteur générant la puissance thermique, on prend comme caractéristiques, les valeurs du cuivre.
  Le conducteur est modélisé avec une épaisseur car la description de l'exemple indique, que c'est la valeur moyenne volumique de la température qui est utilisé comme grandeur mesurable. Il faudra utiliser un contour pour sélectionner "metal strip" lors du calcul dans le post-processeur.
• La puissance volumique du label "metal strip" est calculée simplement par 3.5 mW / (100µm•3.5 mm = volume strip)
  
• Il y a deux ensemble de fichiers :
  L'un créé avec Static Heat Transfer sert à définir la température du régime constant, l'autre qui importe le champ de température initial est créé avec le module Transient Heat Transfer. Il permet de calculer les variations de températures autour de l'état initial.

• Questions : les valeurs à valider sont :
  
  ΔT(@ 1 Hz) = 1.37 K (question 1), ΔT(@ 100 Hz) = 0.71 K (question 2) et
  k_substrat = 1.11 W/m•K.

Le modèle est schématisé comme ci-dessous :

Caractéristique d'un nanomatériau : description

• Réponse question 1 :

caractéristique	simulation	exemple
ΔT (K)	1.44	1.37

Tracé de la température @ 1 Hz

• Réponse question 1 :

caractéristique	simulation	exemple
ΔT (K)	0.36	0.71

Tracé de la température @ 100 Hz

• Téléchargement : Fichiers Pro (≅ 1500 noeuds)   (4.8 Mo)

Remarque : Le fichier zip contient deux problèmes "transient" : 1 et 100 Hz et un problème "dc" qui donne l'état d'équilibre. Le fichier "mod" est commun à tous les problèmes

Exemple 5.11 : Paroi - brusque échauffement

Un élément de réacteur nucléaire représenté par une paroi est refroidi sur ses deux faces. La géneration de puissance interne est brusquement doublée.

• Données :

• épaisseur paroi : 20 mm
• coefficient de convection des faces : 1100 W/K•m²
• caractéristiques thermiques : k = 30 W/K•m , α (diffusivité) = 5.0 10^-6 m²/s
• T_∞ : 250 °C

La puissance volumique double brusquement, passant de 10 MW/m³ à 20 MW/m³.

• Question :

• Quelle est la répartition de température après 1.5 secondes ? Quelle est cette répartition pout t = ∞ ( ici 100 s) ? On choisit deux points de comparaison.

Points de mesure

• Réponse (tracé) :

• Notes :

• Le modèle contient deux problèmes, *_dc.pbm et *.pbm, le premier permettant de calculer le champ de température initial, condition initiale à t = 0 du problème *.pbm
• Quickfield n'utilise pas la diffusivité, on pourra choisir ρ = 8000 kg/m³ et en déduire Cp = 750 J/kg•K puisque α = k/(ρ•Cp )

• Réponse :

Les valeurs simulées et calculées correspondent, mais pour les valeurs de départ,

Tracé de 0 à 20 s

l'algorithme proposé dans l'exemple n'est pas assez précis pour montrer la montée brutale de la température.

• Téléchargement : Fichiers Pro (≅ 300 noeuds)   (0.2 Mo)

Exemple 5.12 : Echauffement d'une plaque de cuivre

Une plaque de cuivre initialement à 20°C est soumise à une puissance thermique constante. On compare les températures sur la surface soumise à ce flux thermique et à l'intérieur à une distance de 150 mm de la surface au bout de 2 mn, ceci pour trois cas : calcul exact, simulation et calcul par différences finies.

• Données :

• épaisseur plaque : semi-infinie
• flux thermique (constant) : 3.0 10⁵ W/m²
• caractéristiques thermiques : k = 401 W/K•m , α (diffusivité) = 117 10^-6 m²/s
• t_end : 2 mn

• Question :

• Quelle est la température après 120 secondes aux deux points x = 0 et 150 mm ?

• Notes :

• Le calcul exact est effectué selon la formule 5.62 (Constant Surface Heat Flux) - Principles of Heat and Mass Transfer - Wiley - 7th edition.
• Quickfield n'utilise pas la diffusivité, on pourra choisir ρ = 8900 kg/m³ et en déduire Cp = 385.1 J/kg•K puisque α = k/(ρ•Cp )

• Réponse :

Les valeurs trouvées sont satisfaisantes, la précision pouvant être améliorée en augmentant le nombre de noeuds (simulation) ou en diminuant le pas de la grille (différences finies).

Tracé de la température de 0 à 2 mn

• Téléchargement : Fichiers Pro (≅ 850 noeuds)   (0.2 Mo)