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Sommaire - External flow


Chaque exemple comprend l'énoncé du problème, ses données, sa résolution. Il est possible de le lire ( et le résoudre avec Student's QuickField si le nombre de noeuds le permet !)
(*) exemple absent traitant de la diffusion par concentration molaire dont les unités ne sont pas compatibles avec QuickField, mais pour lequel une résolution par analogie est possible.


( Ci-dessous , Bleu : information sans cliquer. Vert : lien interne. Orchid : lien externe. )

Ref : T. L. Bergman, D. P. Dewitt, F. P. Incropera, A. S. Lavine : Principles of Heat and Mass Transfer


 

Exemple 7.1 : Convection sur une plaque isotherme

Pour cet exemple, il n'y a pas de fichiers "QuickField" car il s'agit d'un simple calcul d'un coefficient de transfert thermique. Pour une pré-étude, on peut utiliser les coefficients d'échange donnés ici : "Coefficients de convection".
Dans des cas particuliers il est nécessaire de faire un calcul (sans pour cela utiliser un logiciel de mécanique des fluides), par exemple en cas de dépression comme pour la situation décrite dans le croquis ci-dessous :

convection : convection heat transfer coefficient

  • Quelle est la puissance thermique issue de la plaque par mètre de largeur ?
  • Hyp. : la viscosité cinématique est inversement proportionnelle à la pression.
  • Réponse :

h dépend de Nu (nombre de Nusselt) qui dépend de Re (nombre de Reynolds), calculé en fonction de ν (viscosité cinématique).

  1. Calcul de ν (viscosité cinématique)

  2. ν est donné par interpolation par la table A.4 du livre cité en référence ci-dessus soit
    23.12e-6 m²/s (@ 1 atm) . Soit pour la pression donnée : 23.12e-6x(1.0133e5/6.0e3) = 3.9e-4 m²/s

  3. Calcul de Re (nombre de Reynolds)

  4. Re est donné par la relation
    Re = u x (L / ν) = 10.0x(0.5/3.9e-4) = 12 820.0 (==> écoulement laminaire)

  5. Calcul de Nu (nombre de Nusselt)

  6. Nu = 0.664xRe1/2xPr1/3 = 0.664x128201/2x0.6961/3 = 66.53

  7. Calcul de h (coefficient de transfert thermique)

  8. Enfin h est donné par
    h = (Nu x k) / L, avec k conductictivité thermique donnée par interpolation : 0.031 W/K•m
    soit h = (66.53x0.031)/0.5 ≅ 4.125 W/K•m²

En définitive, puisque P = h x L x (Tplaque - T),
P ≅ 95 W/m.


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Exemple 7.2 : Convection sur une plaque chauffée

Une plaque est maintenue à une température constante de 230 °C. Pour assurer ce maintien, elle est divisée en 6 parties chacune renfermant une résistance électrique. On recherche la puissance électrique nécessaire pour chacun de ces éléments. Les résultats entre exemple et simulation sont différents, l'exemple utilisant les valeurs moyennes de h. La dépendance de h en x-1/n est mal prise en compte, la simulation est ici bien plus précise.

  • Données :
  • Largeur plaque : 1 m, longueur : 0.3 m
  • Longueur élément : 0.05 m
  • Température environnement : 25 °C
  • Vitesse air : 60 m/s (1 atm.)
  • Quelle est la puissance électrique nécessaire pour maintenir chaque élément à 230 °C?
  • Notes : La solution littérale impose la température et le coefficient de transfert thermique sur la surface de la plaque ce qui n'est pas compatible avec l'algorithme utilisé. On définit donc une épaisseur (10 mm) et une conductivité thermique proche de celle de l'inox (k = 14 W/K•m) .
  • Réponse :

Il faut déterminer le coefficient hmoyen du premier élément et vérifier partir de quelle distance l'écoulement devient turbulent (les échanges thermiques deviennent alors plus efficaces). Cela permettra d'évaluer h(x) sur la longueur de la plaque.

  1. Calcul de ν (viscosité cinématique)

  2. (Remarque : bien que les seules températures disponibles soient 25 et 230 °C, le calcul de ν et fait pour 400 K soit 126 °C. Il s'agit d'un problème d'édition; on conservera cependant cette valeur pour comparer les résultats finaux.)
    ν est pris directement à la valeur 26.41e-6 m²/s par la table A.4 du livre cité en référence ci-dessus.

  3. Calcul de Re (nombre de Reynolds)

  4. Re est donné par la relation (premier élément soumis un air de 60 m/s)
    Re = u x (L / ν) = 60x(0.05/26.41e-6) = 1.14e5 (==> écoulement laminaire)

  5. Calcul de Nu (nombre de Nusselt)

  6. Nu = 0.664xRe1/2xPr1/3 = 0.664x1.14e5x0.691/3 = 198

  7. Calcul de h (coefficient de transfert thermique)

  8. h = (Nu x k) / L, avec k conductictivité thermique donnée : 0.0338 W/K•m
    soit h = (198x0.0338)/0.05 ≅ 134 W/K•m²

La vitesse de l'air étant rapide, on détermine l'abscisse partir de laquelle l'écoulement devient turbulent, puis on définira la valeur h(x) sur l'ensemble de la plaque.

  1. Calcul de Xc

  2. Xcritique est tiré par la relation
    Re = u x (Xc / ν) ==> Xc = (26.41e-6/60)x5.0e5,
    soit Xc = 0.22 m.
    (5.0e5 est la valeur du nombre de Reynolds quand l'écoulement devient turbulent)

  3. Expression de h(x) (coefficient de transfert thermique)

  4. h est de la forme
    imp(x,0,0.22)•hlam(x)+imp(x,0.22,0.3)•hturb(x)
    (imp(x,x0,x1) = 1 pour x0≤x≤x1 et = 0 ailleurs, c'est la fonction "impulse" de QuickField )
    avec hlam(x)∼x-1/2 et hturb(x)∼x-1/5.
    Pour l'écoulement laminaire, on a ∫a•x-1/2 = 134 pour x = 0 0.22, soit a≅40.
    Le rapport de hmoyen entre laminaire et turbulent est de 2.85 (c'est le rapport des nombres de Nusselt des deux conditions), donc on obtient ∫b•x-1/5 = 381.9, soit b≅240.

En définitive,
imp(x,0,0.22)•40x-1/2+imp(x,0.22,0.3)•240x-1/5

convection : convection heat transfer coefficient

h(x) : discontinuité laminaire/turbulent

Le tableau suivant donne les puissances électriques nécessaires pour compenser les pertes thermiques (hors rendement électrique/thermique). L'énoncé de l'exemple demandait uniquement les éléments nécéssitant le plus de puissance, "non calculé" correspond à une absence de calcul, pas à une impossibilité.

Elément simulation exemple
1 2780 1370
2 1440 non calculé
3 1120 non calculé
4 950 non calculé
5 2170 1050
6 2900 1440

Puissance dissipée par élément (W)

convection : convection heat transfer coefficient

dégradé de températures de 185 à 230 °C


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Exemple 7.4 : Convection sur cylindre métallique

Comme pour l'exemple 7.1, il n'y a pas de fichiers "QuickField" car il s'agit d'un simple calcul d'un coefficient de transfert thermique. Pour une pré-étude, on peut utiliser les coefficients d'échange donnés ici : "Coefficients de convection".

convection : convection heat transfer coefficient

  • Données :
  • Longueur cylindre : 94 mm, diamètre : 12.7 mm
  • Température surfacique moyenne du cylindre : 128.4 °C
  • Température environnement : 26.2 °C
  • Vitesse air : 10 m/s (1 atm.)
  • Quelle est le coefficient de transfert thermique du cylindre ?
  • Approximation : Pour les valeurs tabulées, Tenvironnement = 300 K, Tsurf. cylindre = 400 K.
  • Réponse :

Le calcul dépend d'une relation obtenue par corrélation par A. Zukauskas ( Fundamentals of Heat and Mass Transfer - 7th Edition Wiley - eq 7.53 - page 458 ) : Nu = C•Rem•Prn•(Pr/Prs)1/4
Avec :

  • Nu : nombre de Nusselt, calculé à Tenvironnement
  • Re : nombre de Reynolds, calculé à Tenvironnement
  • Pr : nombre de Prandtl, calculé à Tenvironnement
  • Prs : nombre de Prandtl, calculé à Tsurf. cylindre
  • C, m : constantes dépendantes de Re, données par un tableau

  1. Calcul de Re
  2. Re = (vitesse air)•(Φ cylindre)÷(viscosité cinématique)
    La viscosité cinématique étant donné par la table A.4 du livre cité en référence ci-dessus.
    ν = 15.89e-6 m²/s (@ 1 atm), soit :
    Re = (10×0.0127)÷15.89e-6= 7992
  3. Estimation de Pr
  4. Pr = 0.707 @ 300 K est donné par la table A.4 (Thermophysical Properties of Gases at Atmospheric Pressure - - Fundamentals of Heat and Mass Transfer - 7th Edition Wiley - page 995 )
  5. Estimation de Prs
  6. Prs = 0.690 @ 400 K (cf. table A.4)
  7. Estimation de C, m et ns
  8. C = 0.26 et m = 0.6, selon la table 7.4 (page 459). n = 0.37 (n a deux valeurs selon la corrélation faite : n = 0.37 si Pr ≤ 10 et n = 0.36 si Pr > 10)

Le calcul pour Nu donne
Nu = 0.26×79920.6×0.7070.37×(0.707÷0.690)0.25
soit Nu = 50.52

En définitive, puisque h = Nu•(k/Dcyl.) , h = 50.52×(0.0263÷0.0127) = 104.62 W/K•m²
k est la conductivité thermique de l'air à 300 K - table A.4.


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