Exemple 1.1 : Densité de courant dans un cylindre

C'est un exemple simple d'utilisation de l'analyse fréquentielle AC magnetics et d'une géométrie axisymétrique. On étudie la répartition du courant induit dans un cylindre d'acier entouré d'une bobine.

• Données :

• Cible : cylindre acier
• Fréquence : 60 Hz
• Résistivité acier : 100 µΩ•cm
• Perméabilité acier : 800
• Rayon cylindre : 0.635 cm

• Quelle est la répartition du courant le long d'un rayon du cylindre ?

• Le courant inducteur n'étant pas défini, ni la bobine, on choisira de définir un courant surfacique de 6 A/mm² (valeur admise pour une utilisation standard des câbles en cuivre). On comparera avec les valeurs théoriques de Ia/Ir données par :
  
  √(ber'²(kr)+bei'²(kr) / ber'²(ka)+bei'²(ka))
  
  

• Réponse :

• ber' et bei' sont les dérivées des fonctions de Kelvin Bessel avec :
  
  
  • r = rayon en un point du cylindre
  • r = a rayon du cylindre (0.635 cm)
  • r = k constante du système définie par
    k² = (8π²•frequence•perméabilité)/résistivité
  
  Pour le tracé des résultats de simulation, on utilise un contour "ex_ed1_1p1_current_distribution.sst", voir figure ci-dessous.

Définition du contour

• Téléchargement : Fichiers Pro (env. 70 000 noeuds)   (2.8 Mo)

Le tracé part du centre du cylindre vers r = 0.635 cm, pour arriver à un rapport de 1.0 . La valeur calculée a une pente moins régulière que la valeur simulée, car tabulée. Donc en certains points les valeurs correspondent, mais s'écartent avant et après ces points.

Densité de courant rapportée à celle en périphérie.

Dans cette configuration la densité de courant a diminué de 50 % alors que le rayon n'a diminué que de 30 %. A la fréquence de 60 Hz, l'effet de peau n'est pas très prononcé.

Exemple 1.2 : Densité de courant dans un cylindre

Poursuivant l'utilisation de l'analyse fréquentielle AC magnetics pour l'étude d'une configuration simple de chauffage par induction, on étudie la répartition du courant induit dans un cylindre d'acier entouré d'une bobine, mais cette fois à haute fréquence.

• Données :

• Cible : cylindre inox
• Fréquence : 450 kHz
• Résistivité acier : 100 µΩ•cm
• Perméabilité acier : 1
• Rayon cylindre : 0.635 cm

• Quelle est la répartition du courant le long d'un rayon du cylindre ?

• Comme pour l'exemple précédent, on choisira de définir un courant surfacique de 6 A/mm² (valeur admise pour une utilisation standard des câbles en cuivre). On comparera avec les valeurs théoriques de Ia/Ir données par :
  
  √(ber'²(kr)+bei'²(kr) / ber'²(ka)+bei'²(ka))
  
  

• Réponse :

• ber' et bei' sont les dérivées des fonctions de Kelvin Bessel avec :
  
  
  • r = rayon en un point du cylindre
  • r = a rayon du cylindre (0.635 cm)
  • r = k constante du système définie par
    k² = (8π²•frequence•perméabilité)/résistivité
  
  Pour le tracé des résultats de simulation, on utilise un contour "ex_ed1_1p2_current_distribution.sst", voir figure ci-dessous.

Définition du contour

• Téléchargement : Fichiers pro (env. 70 000 noeuds)   (2.8 Mo)

Le tracé part du centre du cylindre vers r = 0.635 cm, pour arriver à un rapport de 1.0 . La valeur calculée a une pente moins régulière que la valeur simulée, car tabulée. Donc en certains points les valeurs correspondent, mais s'écartent avant et après ces points.

Densité de courant rapportée à celle en périphérie.

Dans cette configuration, l'effet de peau est plus prononcé. La fréquence est en effet beaucoup plus élevée. En règle générale, l'effet de peau est mis en évidence par l'utilisation d'une fréquence élevée et/ou le rayon du cylindre est important.

Exemple 1.3 : Estimation de Ir/Ia par e^-x/δ

Lorsque le diamètre du cylindre d'acier "a" et le rayon où est calculé la densité de courant deviennent importants, la relation Ir/Ia est approchée par la relation Ir/Ia = e^-x/δ, avec

• x = a - r
• δ = 1/2π•√(ρ/μ•f)

où ρ = résistivité du cylindre et f = fréquence du courant.

L'exemple 1.1 est repris pour comparer cette approximation avec le calcul exact et une simulation avec AC magnetics .

• Données :

• Cible : cylindre acier
• Fréquence : 60 Hz
• Résistivité acier : 100 µΩ•cm
• Perméabilité acier : 800
• Rayon cylindre : 0.635 cm

• Comparer la valeur de Ir/Ia entre approximation et simulation (le calcul exact sera utilisé pour valider la simulation).

• Comme pour les exemples précédents, on choisira de définir un courant surfacique de 6 A/mm² (valeur admise pour une utilisation standard des câbles en cuivre). On comparera avec les valeurs théoriques de Ia/Ir données par :
  
  √(ber'²(kr)+bei'²(kr) / ber'²(ka)+bei'²(ka))
  
  
• r = rayon en un point du cylindre
• r = a rayon du cylindre (0.635 cm)
• r = k constante du système définie par
  k² = (8π²•frequence•perméabilité)/résistivité

• Réponse :

Aspect de la répartition du courant

Ir/Ia en fonction du rayon

La différence relative entre simulation et approximation est supérieure à 20 % quand le rayon du cylindre est de 20 à 60 % du rayon extérireur.

• Téléchargement : Fichiers Pro (env. 70 000 noeuds)   (2.8 Mo)

Exemple 1.4 : Optimisation de la puissance volumique

Dans la plupart des problème de chauffage par induction, la puissance requise est donnée par l'appareillage utilisé, on optimise alors l'ensemble "bobine + échantillon". Soit ici, les dimensions initiales de cet échantillon et la puissance disponible, on cherche à maximiser l'ensemble pour avoir la puissance volumique maximale dans la pièce :

• Données :

• Cible : cylindre aluminium
• Puissance disponible (P_w) : 100 kW
• Fréquence (f) : 60 Hz
• Résistivité aluminium (ρ) : 5.7 µΩ•cm
• Perméabilité aluminium (μ) : 1
• Diamètre cylindre (D) : 7.6 cm (3.0 ")
• Longueur cylindre (L) : 50.8 cm (20 ")

• Pré-calcul de l'intensité du champ magnétique
  
  
• δ = 1/2π•√(ρ/μ•f) = 1.54 cm
On en déduit Q variable donnée par les fonctions de fonctions de Kelvin Bessel (inclues comme plugin dans TkFab™) : 0.377
• H₀² = (4•P_w•10⁸)/(2.5f•L•μ•π•D²•Q) = 87852500.0
  soit H₀ = 9373 oersted soit 745872.0 A/m

Il suffit de définir la bobine dans le modèle par un segment ("edge") pour lequel H_t a la valeur 745872.0 A/m.

• Montrer en conservant le même champ magnétique qu'il existe un rayon pour lequel la puissance volumique dans la cible est maximale.

• Réponse :

On part du modèle défini par les données ci-contre, c'est-à-dire rayon cylindre = 1.5" (puisque le modèle est axisymétrique) pour lequel on vérifie que la puissance disponible dans la cible est d'environ 100 kW. Puis on part d'un rayon minimal pour l'augmenter progressivement pour relever : rayon, volume, pertes par effet Joule (le modèle n'ayant pas d'entrefer toute l'énergie électromagnétique est considérée comme étant transformée en chaleur).

L'utilisation de LabelMover donne :

• Il est normal que la puissance augmente puisque le diamètre extérieur, donc la "bobine", augmente lors de chaque incrément.

On trouve après calcul P/V, un rayon optimum de 1.1" :

Puissance volumique en fonction du rayon

• Téléchargement : Fichiers Pro (env. 15 000 noeuds)   (0.6 Mo)

Exemple 1.5 : Calcul du champ H (plaque)

Connaissant la puissance requise dans la pièce à traiter, on recherche la valeur du champ magnétique à sa surface. Il existe des relations théoriques simples qui ont cependant leurs limites, en particulier dans le cas présent d'une cible résistive.

• Données :

• Cible : plaque acier
• Puissance disponible (P_w) : 50 kW
• Fréquence (f) : 3000 Hz
• Résistivité aluminium (ρ) : 10⁵ nΩ•cm
• Perméabilité acier (μ) : 1000
• Largeur plaque (w) : 12.7 cm (5.0 ")
• Longueur plaque (L) : 25.4 cm (10 ")
• Epaisseur plaque (t) : 0.635 cm (0.25 ")

• Calcul du champ magnétique H en surface pour obtenir une telle puissance ?

• Pré-calcul de l'intensité du champ magnétique

• Epaisseur de peau δ = 1/2π•√(ρ/μ•f) = 0.029 cm
• La valeur du champ H est donné par
  H₀² = (P_plaque•10⁸)/(2.5f•L•μ•t•w•Q) = 71529
• Q variable donnée par la relation Q ≅ δ/t (valable pout t/&delta > 8 - cible rectangulaire).Soit Q = : 0.045
• En définitive, H₀ = 267 oersted soit 21247 A/m

• La cible acier est beaucoup plus résistive que l'acier, il y a alors deux modèles proposés. L'un "a" correspond au calcul théorique simple d'une nappe de courant. Le second "b" est un modèle plus complet tenant compte de l'environnement. En particulier de l'energie qui est nécessaire à la circulation des lignes de champ.

• Réponse :

Dans le modèle "a", la bobine est un segment ("edge") pour lequel H_t permet d'obtenir une puissance 50 kW. On part du modèle défini par les données ci-contre. Puis on part d'une valeur "quelconque" du flux tangentiel H_t pour la faire varier avec LabelMover dans la configuration "optimisation" de la valeur "Joule heat Average" du volume "acier :

Le tableau suivant compare les résultats, le nombre de noeuds étant < 10 000, la précision est moyenne.

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