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Sommaire - Introduction


Chaque exemple comprend l'énoncé du problème, ses données, sa résolution. Il est possible de le lire ( et de le résoudre avec Student's QuickField si le nombre de noeuds le permet !)

( Ci-dessous , Bleu : information sans cliquer. Vert : lien interne. Orchid : lien externe. )


 
Exemple 1.1 : Densité de courant dans un cylindre

C'est un exemple simple d'utilisation de l'analyse fréquentielle AC magnetics et d'une géométrie axisymétrique. On étudie la répartition du courant induit dans un cylindre d'acier entouré d'une bobine.

  • Données :
  • Cible : cylindre acier
  • Fréquence : 60 Hz
  • Résistivité acier : 100 µΩ•cm
  • Perméabilité acier : 800
  • Rayon cylindre : 0.635 cm
  • Quelle est la répartition du courant le long d'un rayon du cylindre ?
  • Le courant inducteur n'étant pas défini, ni la bobine, on choisira de définir un courant surfacique de 6 A/mm² (valeur admise pour une utilisation standard des câbles en cuivre). On comparera avec les valeurs théoriques de Ia/Ir données par :

    √(ber'(kr)+bei'(kr) / ber'(ka)+bei'(ka))

  • Réponse :
  • ber' et bei' sont les dérivées des fonctions de Kelvin Bessel avec :

    • r = rayon en un point du cylindre
    • r = a rayon du cylindre (0.635 cm)
    • r = k constante du système définie par
      k² = (8π²•frequence•perméabilité)/résistivité

    Pour le tracé des résultats de simulation, on utilise un contour "ex_ed1_1p1_current_distribution.sst", voir figure ci-contre.
current density in working piece

Définition du contour


Le tracé part du centre du cylindre vers r = 0.635 cm, pour arriver un rapport de 1.0 . La valeur calculée a une pente moins régulière que la valeur simulée, car tabulée. Donc en certains points les valeurs correspondent, mais s'écartent avant et après ces points.

current density ratio in working piece

Densité de courant rapportée celle en périphérie.

Dans cette configuration la densité de courant a diminué de 50 % alors que le rayon n'a diminué que de 30 %. A la fréquence de 60 Hz, l'effet de peau n'est pas très prononcé.
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Exemple 1.2 : Densité de courant dans un cylindre

Poursuivant l'utilisation de l'analyse fréquentielle AC magnetics pour l'étude d'une configuration simple de chauffage par induction, on étudie la répartition du courant induit dans un cylindre d'acier entouré d'une bobine, mais cette fois haute fréquence.

  • Données :
  • Cible : cylindre inox
  • Fréquence : 450 kHz
  • Résistivité acier : 100 µΩ•cm
  • Perméabilité acier : 1
  • Rayon cylindre : 0.635 cm
  • Quelle est la répartition du courant le long d'un rayon du cylindre ?
  • Comme pour l'exemple précédent, on choisira de définir un courant surfacique de 6 A/mm² (valeur admise pour une utilisation standard des câbles en cuivre). On comparera avec les valeurs théoriques de Ia/Ir données par :

    √(ber'(kr)+bei'(kr) / ber'(ka)+bei'(ka))

  • Réponse :
  • ber' et bei' sont les dérivées des fonctions de Kelvin Bessel avec :

    • r = rayon en un point du cylindre
    • r = a rayon du cylindre (0.635 cm)
    • r = k constante du système définie par
      k² = (8π²•frequence•perméabilité)/résistivité

    Pour le tracé des résultats de simulation, on utilise un contour "ex_ed1_1p2_current_distribution.sst", voir figure ci-dessous.
current density in working piece

Définition du contour


Le tracé part du centre du cylindre vers r = 0.635 cm, pour arriver un rapport de 1.0 . La valeur calculée a une pente moins régulière que la valeur simulée, car tabulée. Donc en certains points les valeurs correspondent, mais s'écartent avant et après ces points.

current density ratio in working piece

Densité de courant rapportée celle en périphérie.

Dans cette configuration, l'effet de peau est plus prononcé. La fréquence est en effet beaucoup plus élevée. En règle générale, l'effet de peau est mis en évidence par l'utilisation d'une fréquence élevée et/ou le rayon du cylindre est important.
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Exemple 1.3 : Estimation de Ir/Ia par e-x/δ

Lorsque le diamètre du cylindre d'acier "a" et le rayon où est calculé la densité de courant deviennent importants, la relation Ir/Ia est approchée par la relation Ir/Ia = e-x/δ, avec

  • x = a - r
  • δ = 1/2π•√(ρ/μ•f)

où ρ = résistivité du cylindre et f = fréquence du courant.

L'exemple 1.1 est repris pour comparer cette approximation avec le calcul exact et une simulation avec AC magnetics .

  • Données :
  • Cible : cylindre acier
  • Fréquence : 60 Hz
  • Résistivité acier : 100 µΩ•cm
  • Perméabilité acier : 800
  • Rayon cylindre : 0.635 cm
  • Comparer la valeur de Ir/Ia entre approximation et simulation (le calcul exact sera utilisé pour valider la simulation).
  • Comme pour les exemples précédents, on choisira de définir un courant surfacique de 6 A/mm² (valeur admise pour une utilisation standard des câbles en cuivre). On comparera avec les valeurs théoriques de Ia/Ir données par :

    √(ber'(kr)+bei'(kr) / ber'(ka)+bei'(ka))

  • r = rayon en un point du cylindre
  • r = a rayon du cylindre (0.635 cm)
  • r = k constante du système définie par
    k² = (8π²•frequence•perméabilité)/résistivité
  • Réponse :
current density in working piece

Aspect de la répartition du courant


current density in working piece

Ir/Ia en fonction du rayon


La différence relative entre simulation et approximation est supérireure à 20 % quand le rayon du cylindre est de 20 à 60 % du rayon extérireur.


Updated January 2021 | Copyright 2021 Ocsimize all rights reserved