Calculs d'inductances et de résistances

Introduction

QuickField™ est capable d'analyse multi-physique, complexes, mais contient également des outils permettant le calcul rapide de données pratiques comme la résistance et/ou l'inductance d'un bobinage. Calculer ne suffit cependant toujours pas car la représentation d'un bobinage est primordiale.

Pour vérifier rapidement un design, il n'est pas toujours aisé de dessiner un bobinage complet avec toutes les sections. Il y a alors deux approches simplificatrices qui consistent, l'une en représentant le bobinage par un bloc, l'autre en représentant le bobinage par un ensemble de conducteurs simple à dessiner.

Le but de l'article est ici de comparer les caractéristiques d'un bobine dans trois cas :

  Bobine dont l'enroulement est représentée comme un bloc ( très rapide et simple à dessiner ).

  Bobine dont l'enroulement est représentée un ensemble de conducteurs à section rectangulaire ( simple à dessiner mais plus proche du cas réel ).

  Bobine dont l'enroulement est représentée un ensemble de conducteurs à section circulaire ( en fait le cas réel ) .

Le tableau ci-dessous résume les calculs utilisés et qui serviront de comparaison :

Modules / Mesures Wizard (Flux) Wizard (Energie) Impedance wizard Impedance wizard Re(U/I)) Img(U/I)

DC magnetics L L undef undef undef undef

AC magnetics L L R ⁽¹⁾ L ⁽¹⁾ R ⁽²⁾ L ⁽²⁾

Transient magnetics L L undef undef undef undef

Notes :

  R et L sont calculés simultanément.

  U et I sont relevés dans le circuit.

Designs d'une bobine simple :

Il y a 6 type possibles de représentations pour une bobine simple ( c'est à dire dont le bobinage peut être dessiné rapidement ) :

  L'ensemble des spires est considéré comme un bloc et il y a une symétrie axiale (Voir fig. 1.a) ou une symétrie plane (Voir fig. 1.b) .

  Chaque spire a une section rectangulaire et il y a une symétrie axiale (Voir fig. 2.a) ou une symétrie plane (Voir fig. 2.b) .

  Chaque spire a une section circulaire et il y a une symétrie axiale (Voir fig. 3.a) ou une symétrie plane (Voir fig. 3.b) .

Lorsque la bobine est cylindrique, la symétrie axiale est évidemment la représentation la plus exacte. Lorsque la bobine est plane, sa seule représentation possible est faite dans la direction du bobinage. On perd dans ce cas l'influence du bobinage non visible ( figure 1.b, 2.b et 3.b ). Par exemple dans le cas d'un moteur, la partie frontale des sections n'est pas représentée.

Coil model : as a block

Modélisation de bobinage par un bloc conducteur, r1 = a et r2 = b, à gauche symétrie axiale, à droite symétrie 2d.

Coil model : with squared wire

Modélisation de bobinage avec un fil de section rectangulaire, r1 = a et r2 = b, à gauche symétrie axiale, à droite symétrie 2d.

Coil model : with round wire

Modélisation de bobinage avec un fil de section circulaire, r1 = a et r2 = b, à gauche symétrie axiale, à droite symétrie 2d.

Application :

Données géométriques :

  fil de cuivre circulaire : Φ = 1 mm,  section = 0.785 mm²,   section totale = 153.93 mm².

  fil de cuivre carré : c = 1 mm,  section = 1 mm²,   section totale = 210 mm² ( comme pour la section en bloc ).

  bobine : L = 51 mm, Rint bobinage = 9 mm, Rext bobinage = 13 mm.

  nombre de spires : 4 • 51 .

  section totale bobine : SB_a = 531 mm².

  section totale bobine : SB_2d = 676 mm².

Données géométriques et matériaux:

  fil de cuivre : σ = 63.0E⁶ S/m, densité de courant = 6 A/mm².

  noyau : acier magnétique linéaire , Φ = 7 mm, μ = 1000.

  section noyau ( symétrie axiale ) : S_a = 153 mm².

  section noyau ( symétrie 2D ) : S_2d = 210 mm².

  Epaisseur du modèle 2D : Lz = 26 mm.

Résultats ( valeurs des résistances et inductances pour les six cas ci-dessus, en continu (DC), @ 1000 Hz et @ 10 Hz ) :

DC Magnetics L ( H )
(par flux) L ( H )
(par énergie) L ( H )
(par impédance) L ( H )
(par U/I) R ( Ω )
(par impédance) R ( Ω )
(par U/I)

bloc-sym.axiale-fig.1.a 0.001771 0.001774 undef undef undef undef

rectangulaire-sym.axiale-fig.2.a 0.001771 0.001777 undef undef undef undef

circulaire-sym.axiale-fig.3.a 0.001774 0.001779 undef undef undef undef

bloc-sym.2D-fig.1.b 0.001073 0.001063 undef undef undef undef

rectangulaire-sym.2D-fig.2.b 0.001076 0.001074 undef undef undef undef

circulaire-sym.2D-fig.3.b 0.001077 0.001076 undef undef undef undef

AC Magnetics - 1 V @ 1000 Hz L ( H )
(par flux) L ( H )
(par énergie) L ( H )
(par impédance) L ( H )
(par U/I) R ( Ω )
(par impédance) R ( Ω )
(par U/I)

bloc-sym.axiale-fig.1.a 0.001155 0.001133 2.753e-8 2.78e-8 2.678e-5 2.678e-5

rectangulaire-sym.axiale-fig.2.a 0.00171 0.00175 0.00177 0.00177 0.176 0.176

circulaire-sym.axiale-fig.3.a 0.001774 0.001778 0.001774 0.00177 0.285 0.286

bloc-sym.2D-fig.1.b 0.000858 0.000834 2.056e-8 2.78e-8 1.398e-5 1.39e-5

rectangulaire-sym.2D-fig.2.b 0.001076 0.001073 0.001076 0.001076 0.196⁽¹⁾ 0.196⁽¹⁾

circulaire-sym.2D-fig.3.b 0.001077 0.001074 0.001077 0.00108 0.239⁽¹⁾ 0.240⁽¹⁾

AC Magnetics - 10 mV @ 10 Hz L ( H )
(par flux) L ( H )
(par énergie) L ( H )
(par impédance) L ( H )
(par U/I) R ( Ω )
(par impédance) R ( Ω )
(par U/I)

bloc-sym.axiale-fig.1.a 0.001767 0.001769 4.246e-8 4.24e-8 5.393e-6 5.39e-6

rectangulaire-sym.axiale-fig.2.a 0.001771 0.001775 0.001771 0.001768 0.2236⁽¹⁾ 0.223⁽¹⁾

circulaire-sym.axiale-fig.3.a 0.001774 0.001779 0.001774 0.001782 0.298⁽¹⁾ 0.299⁽¹⁾

bloc-sym.2D-fig.1.b 0.001072 0.001061 2.576e-8 2.57e-8 4.068e-6 4.06e-6

rectangulaire-sym.2D-fig.2.b 0.001076 0.001073 0.001076 0.001077 0.168⁽¹⁾ 0.168⁽¹⁾

circulaire-sym.2D-fig.3.b 0.001077 0.001074 0.001077 0.00108 0.224⁽¹⁾ 0.226⁽¹⁾

Notes

  Les valeurs de R sont supposées équivalentes car le rapport des sections du conducteur permet de passer de l'une à l'autre des valeurs :
( 0.785 / 1) • 0.226 = 0.177 ≅ 0.168
( 0.785 / 1) • 0.299 = 0.234 ≅ 0.223
( 0.785 / 1) • 0.240 = 0.188 ≅ 0.196

Conclusion :

  Les cellules de même couleur représentent des équivalences. L'utilisation d'un bobinage représenté par un bloc est utilisable pour le calcul d'une inductance, le plus simple et le plus rapide étant l'utilisation du module "DC Magnetics". Dans le cas de l'utilisation du module "AC Magnetics", cette approche est à proscrire, sauf, bien sûr, si la bobine est un conducteur massif. L'approche consistant à dessiner le bobinage par des fils de section rectangulaire reste la plus efficace dans le calcul d'inductance, ayant l'avantage de la rapidité et d'une précision suffisante.
Concernant la résistance, la seule possibilité simplificatrice est de représenter le bobinage par un fil de section rectangulaire, la résistance pour un fil de section circulaire est alors calculée par une simple règle de trois utilisant la section du fil. Ceci n'est cependant vrai qu'en basse fréquence.

Fichiers Pro utilisés pour le comparatif (entre 3000 et 7000 noeuds)  (4.2 Mo)

   Il n'y a pas de règle simple concernant une relation entre la valeur d'inductance d'une bobine à section rectangulaire (symétrie 2D) et une autre à section circulaire ( symétrie axiale ) comme le rapport de la section du noyau. Les images ci-dessous montrent en effet que le flux est réparti différemment sur la longueur de la bobine.

Symétrie axiale Symétrie 2D